Razlike - kaj je to? Kako najti razliko funkcije?

Skupaj z derivati njihove funkcije Razlike - it nekaj osnovnih pojmov iz diferencialnega računa, glavni del matematične analize. Kot je neločljivo povezana, sta med njimi več stoletij pogosto uporabljajo pri reševanju skoraj vse težave, ki so nastale v okviru znanstvene in tehnične dejavnosti.

Pojav pojma razlike

Za prvič je bilo jasno, da takšno razliko, eden od ustanoviteljev (skupaj z Isaakom Nyutonom) Diferencialni račun znani nemški matematik Gotfrid Vilgelm Leybnits. Pred tem matematiki 17. stoletja. uporablja zelo nejasno in nejasno predstavo o neki neskončno "nerazdeljenega" kakršne koli znane funkcije, ki predstavljajo zelo majhno konstantno vrednost, vendar ni enaka nič, pod katero ceni funkcija ne more biti enostavno. Zato je bil samo en korak uvedbe pojmov neskončno rastru argumentov funkcije in njihovih rastru funkcij, ki se lahko izrazi derivatov slednje. In je to korak, ki je skoraj istočasno zgoraj dve veliki znanstveniki.

Na podlagi potrebe po reševanju nujnih praktičnih problemov v mehaniki s katerimi se soočajo znanost hitro razvijajoče se industrije in tehnologije, Newton in Leibniz ustvarila skupne načine iskanju funkcije stopnje spremembe (zlasti v zvezi z mehansko hitrosti telesa znane poti), ki je privedla do uvedbe takšnih konceptov, kot funkcijo derivata in diferencialom, in tudi ugotovljeno algoritem inverzne rešitve problemov kot je poznano samo po sebi (spremenljivke) hitrosti vodi, da bi našli pot, ki je privedla do koncepta integralni Ala.

V delih Leibniz and Newtonove ideje najprej se je izkazalo, da so razlike - je sorazmerna s prirastkom osnovnih argumentov Δh korakih Δu funkcije, ki se lahko uspešno uporabljajo za izračun vrednosti slednje. Z drugimi besedami, so odkrili, da lahko funkcija prirastek na katerikoli točki (v svoji domeni definiciji), izražen v njegov derivat kot Δu = y '(x) Δh + αΔh kjer α Δh - preostanek nagiba k nič, ko Δh → 0, veliko hitreje od dejanske Δh.

Po ustanoviteljev matematične analize, diferenciali - to je ravno prvi izraz v korakih po vseh funkcij. Tudi brez z natančno določeno mejo koncept sekvence razume intuitivno da razlika vrednost derivata ponavadi deluje, ko Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

Za razliko od Newton, ki je bil v prvi vrsti fizik in matematični aparat obravnavati kot pomožno orodje za proučevanje fizičnih težav, Leibniz več pozornosti temu orodij, vključno s sistemom vizualnih in razumljivimi simboli matematične vrednosti. Bilo je tisti, ki predlaga standardnim zapisom za razliko v funkcionalni dy = y '(x) dx, dx in odvod funkcije argumenta njihovo razmerje y' (x) = dy / dx.

Sodobna definicija

Kakšna je razlika v smislu sodobne matematike? To je tesno povezano s pojmom spremenljivo prirastka. Če je spremenljivka Y je prvo vrednost y y = _1, potem je Y = Y _2, se razlika _Y2 ─ _Y1 imenuje prirastek vrednosti y. Prirastek je lahko pozitiven. negativen in nič. Beseda "prirastek" se označi Í, Δu snemanja (beri 'delta Y') označuje vrednost prirastka y. tako Δu = _Y2 ─ _Y1.

Če je vrednost Δu poljubna funkcija y = f (x), lahko predstavimo kot Δu = A Δh + a, kjer je no odvisnost od Δh, t. E. = konst za dano x, in izraz α ko Δh → 0 nagiba k je celo hitreje od dejanske Δh, nato prvo ( "master") dobo sorazmerna Δh, in je y = f (x) diferencialom, označena dy ali df (x) (glasi "y de«, »de ESR iz X"). Zato diferenciali - je "glavni" linearno glede sestavin korakih Δh funkcij.

mehanska razlaga

Naj s = f (t) - razdalja v ravni liniji gibljejo materialno točko iz začetnega položaja (t - časovno potovanje). Prirastek Δs - je v časovnem intervalu At pot točka, in diferencialne ds = f '(t), At - to pot, ki bi bila točka potekala v istem času At, če bi ohranila hitrosti f' (t), dosežen v času t . Ko infinitezimalni At ds imaginarna pot razlikuje od dejanske Δs neskončno imajo višjo nalog v zvezi z At. Če je hitrost v času t ni enaka nič, se ds orientacijske vrednosti daje majhen pristranskosti točko.

geometrijska interpretacija

Naj linije L je graf y = f (x). Potem Δ x = MQ, Δu = QM '(glej. Sliko spodaj). Tangent MN odmori Δu narežemo na dva dela, QN in NM ". Prva in Δh je sorazmerna QN = MQ ∙ TG (kota QMN) = Δh f '(x), t. E QN je dy razlika.

Drugi del razlike Δu NM'daet ─ dy, ko Δh dolžina → 0 NM "zmanjšuje še hitreje kot prirastek argumenta, kar pomeni, da ima vrstni red majhnosti višja od Δh. V tem primeru, če je f '(x) ≠ 0 (nista vzporedni tangent OX) segmentov QM'i QN enakovredne; z drugimi besedami NM "hitro zmanjša (sklep majhnost njene višja) od skupno prirastek Δu = QM '. To je razvidno na sliki (približuje odsek M'k M NM'sostavlyaet vse manjši delež QM Segment).

Torej, grafično diferencialna poljubna funkcija je enak prirastek ordinato tangente.

Derivat in razlika

Dejavnik v prvem trajanju delovanja izraz prirastek je enako vrednosti njenega derivata f '(x). Tako naslednjim odnosom - dy = f '(x) Δh ali df (x) = f' (x) Δh.

Znano je, da je prirastek neodvisnega argumenta enaka njegovi diferencialni Δh = dx. V skladu s tem lahko zapišemo: f '(x) dx = dy.

Iskanje (včasih je dejal, da je "odločitev") diferenciali opravlja ista pravila kot za izvedene finančne instrumente. Seznam le-teh je navedeno v nadaljevanju.

Kaj je bolj univerzalna: prirastek argumenta ali njene razlike

Tukaj je potrebno narediti nekaj pojasnil. Zastopanje vrednost f '(x) razlika Δh mogoče, če upoštevamo x kot argument. Toda funkcija je lahko zelo zapleten, v katerem se lahko x je funkcija argumenta t. Potem prikaz diferencialnega izražanja f '(x) Δh, praviloma ni mogoče; razen v primeru linearne odvisnosti x = v + b.

V formuli f '(x) dx = dy, nato pa v primeru neodvisnega argument x (potem dx = Δh) v primeru odvisnosti parametra izmed X t je razlika.

Na primer, izraz 2 x Δh je y = x ² svojemu diferencialno kadar je x argument. Zdaj x = t ² in prevzeti t argument. Potem je Y = ^X2 = t ^4.

Temu sledi (t + At) ² = ^t2 + 2tΔt + At ^2. Zato Δh = 2tΔt + At ^2. Zato: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

Ta izraz ni sorazmerna At, in zato je zdaj 2xΔh ni diferencialno. To je mogoče najti z enačbo y = x ² = t ^4. To je enako dy = 4t ³ At.

Če vzamemo izraz 2xdx, da je razlika y = x ² za vsak argument t. Dejansko, če je x = ^t2 dobimo dx = 2tΔt.

Torej 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. Z izrazom diferenciali posnete z dvema različnima spremenljivk sovpadata.

Zamenjava korakih razlike

Če f '(x) ≠ 0, potem Δu in dy ekvivalent (ko Δh → 0); če f '(x) = 0 (pomen in dy = 0), niso enakovredni.

Na primer, če je y = x ^2, nato Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² in dy = 2xΔh. Če je X = 3, potem smo Δu = 6Δh + Δh ² in dy = 6Δh ki so enakovredne zaradi Δh ² → 0, kadar je x = 0 vrednost Δu = Δh ² in dy = 0, niso enakovredni.

To dejstvo, skupaj s preprostim strukturo diferenciala (m. E. Linearnost glede Δh), ki se pogosto uporablja v približnem izračunu, ob predpostavki, da Δu À dy za majhne Δh. Najdi razlika funkcija je običajno lažje kot za izračun natančne vrednosti prirastka.

Na primer, imamo kovinsko kocko z robom x = 10,00 cm. Pri segrevanju rob podaljšala na Δh = 0,001 cm. Kako povečano prostornino kocke V? Imamo V = ^X2, tako da dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ^10. februarja 0/01 = 3 (cm ^3). Povečana? V ekvivalent razlika dV, tako da V = 3 ^cm3. Polna izračun bi dal ³ V = 10,01 ─ marec ¹⁰ = 3.003001. Toda rezultat vseh številk, razen prvega nezanesljivi; Zato pa je še vedno potrebno zaokrožiti na 3 cm ^3.

Očitno je, da ta pristop je uporaben le, če je mogoče oceniti vrednost je podeljen z napako.

Diferencialni funkcija: primeri

Poskusimo najti razliko od funkcije y = x ^3, iskanju derivat. Dajmo argument prirastka Δu se in opredeliti.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

Tu je koeficient A = 3x ² ni odvisna od Δh, tako da je prvi izraz je sorazmerna Δh, drugi član 3xΔh Δh ² + ³ ko Δh → 0 zmanjšuje hitreje od prirastka argumenta. Zato član 3x ² Δh je razlika y = x ^3:

dy = 3x ² Δh = 3x ² DX ali d (x ³⁾ = 3x ² DX.

Kjer D (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy sedaj smo našli funkcija y = 1 / x, ki ga predlaga derivata. Nato d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Zato dy = ─ Δh / x ^2.

Razlike v osnovne algebrske funkcije so navedene v nadaljevanju.

Približni izračuni z razliko

Za oceno funkcijo f (x), in njegova izpeljanka f '(x) pri x = A pogosto težko, toda storiti isto v bližini x = a ni enostavno. Potem pridejo na pomoč približne izražanja

f (a + Δh) ≈ f "(a) Δh + f (a).

To daje približno vrednost funkcije v majhnih korakih skozi njeno diferencialno Δh f '(a) Δh.

Zato je ta formula daje približno izraz za delovanje na končno točko dela dolžine Δh kot vsoti njene vrednosti v začetni točki odseka (x = a) in razlike v koži izhodiščem. Natančnost metode za določitev vrednosti funkcije spodaj prikazuje risbo.

Vendar znana in natančen izraz za vrednost funkcije x = a + Δh označeno s formulo končnih korakih (ali, alternativno, Lagrange formula)

f (a + Δh) ≈ f '(ξ) Δh + f (a)

kjer je točka x = A + ξ v intervalu od x = A do x = A + Δh, čeprav njegov točen položaj je znan. Natančna formula omogoča ovrednotiti napačno približne formule. Če smo se v Lagrange formulo £ = Δh / 2, čeprav preneha biti točni, ampak daje, kot pravilo, veliko boljši pristop kot izvirni izraz v smislu razlike.

Vrednotenja formule napak z uporabo razlike

Merilni instrumenti , načeloma, netočne in pripelje do merilnih podatkov, ki ustrezajo napake. Zanje je značilno omejuje absolutno napako, ali, na kratko, mejna napaka - pozitivna, jasno presegla napako v absolutni vrednosti (ali kvečjemu enaka nje). Omejevanje relativna napaka se imenuje količnik dobimo z deljenjem vsote s absolutne vrednosti izmerjene vrednosti.

Naj Natančna s formulo Y = f (x) funkcija uporabi za vychislyaeniya y, vendar je vrednost x je rezultat meritve, zato lahko napako y. Potem, da bi našli omejuje absolutna napaka │Δu│funktsii y, z uporabo formule

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

kjer │Δh│yavlyaetsya mejni napake argument. │Δu│ količina mora biti zaokrožena navzgor, saj netočen izračun sama zamenjava prirastka o izračunu diferencialni.