Diferencialni račun funkcij ene in več spremenljivk

Diferencialni račun je veja matematične analize, ki obravnava derivat, razlike in njihova uporaba pri študiju funkcij.

Zgodba

Diferencialni račun pojavila kot samostojna disciplina v drugi polovici 17. stoletja, zahvaljujoč delu Newton in Leibniz, ki je oblikoval osnovne določbe za izračun razlik in opazil povezavo med integracijo in diferenciacijo. Ker disciplini je razvil skupaj z izračunom integralov, kar predstavlja osnovo za matematično analizo. Pojav teh kamnov odprli novo sodobno obdobje v matematičnem svetu in povzročila nastanek novih disciplin v znanosti. razširiti tudi možnost uporabe matematike v naravoslovju in tehniki.

osnovni pojmi

Diferencialni račun temelji na temeljnih konceptov matematike. To so: realno število, stalnost in omejitev funkcije. Po času, ki so jih sprejele sodoben videz, zahvaljujoč integralnega in diferencialnega računa.

Postopek oblikovanja

Oblikovanje diferencialnega računa v obliki vloge, in nato znanstvene metode prišlo pred pojavom filozofske teorije, ki jo je ustvaril Nikolay Kuzansky. Njegovo delo se šteje za evolucijski razvoj iz starodavne znanosti sodbe. Kljub temu, da je filozof sam ni bil matematik, njegov prispevek k razvoju matematične znanosti ni mogoče zanikati. Cusa, ena od prvih ven nadomestil aritmetike kot najbolj natančne znanosti, matematike dajanje čas pod vprašaj.

V starih matematiki univerzalni kriterij je bila enota, medtem ko je filozof predlagana kot nov ukrep neskončnosti vrne točno število. V zvezi s tem obrnjen zastopanje natančnosti pri matematičnih znanosti. Znanstvenih spoznanj, po njegovem mnenju, je razdeljen na racionalen in inteligenten. Druga je bolj natančen, glede na znanstvenika, saj je nekdanji daje le približne rezultate.

ideja

Osnovna ideja in koncept diferencialnega računa, povezanega z delovanjem v majhni okolici nekaterih točkah. Za to je potrebno ustvariti matematični aparat za delovanje študij, katerih vedenje v majhni okolici točk nameščenih blizu obnašanja linearno funkcijo ali polinom. Na podlagi te definicije odvoda in diferenciala.

Pojav pojma derivata je povzročil številne težave naravoslovja in matematike, kar je privedlo do določitve mejnih vrednosti istega tipa.

Ena od glavnih nalog, ki so navedene kot primer, začenši z najstarejšimi pouku, je ugotoviti hitrost gibanja točke v ravni liniji in gradnjo tangento na to krivuljo. Razlika povezano s tem, ker je možno približati funkcije v majhnem bližini točke linearni funkciji.

V primerjavi s pojmom odvoda funkcije realne spremenljivke, opredelitev razlik preprosto prehaja na funkciji splošne narave, zlasti podobo evklidski prostor v drugo.

derivat

Naj se premika v smeri osi y, za čas vzamemo x, ki se meri od začetka trenutek. Opis Tak premik je mogoč s funkcijo y = f (x), ki je povezan z vsako časovno točko x koordinata premakljiv točko. Ta funkcija klica v mehaniki, da bi zakon gibanja. Glavna značilnost gibanja, predvsem neenakomerno, je trenutna hitrost. Ko je točka premakne vzdolž osi y v skladu z zakonom mehanike, naključno časovni točki pridobi koordinatni x f (x). V časovni točki x + Δh, kjer Δh predstavlja prirastek časa bo kordinaty f (x + Δh). Tako oblikovana formulo Δy = f (x + Δh) - f (x), ki se imenuje funkcija prirastka. To je točka poti prevozijo v času od x do x + Δh.

V zvezi z nastankom hitrosti pri časovnega odvoda dajemo. Derivat po kateremkoli funkcije na fiksni točki imenovano mejo (ob predpostavki, da obstaja). Prav tako se lahko iz nekaterih znakov:

f '(x), Y', Y, df / dx, dy / dx DF (x).

Postopek izračunavanja derivat diferenciacije klicev.

Diferencialni račun funkcij več spremenljivk

Ta metoda se uporablja pri izračunu študijo funkcijo, več spremenljivk. Če obstajajo dveh spremenljivk x in y, delno derivata glede na X na točki A se imenuje derivat te funkcije pri x s fiksno y.

Lahko je označena z naslednjimi simboli:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x in ∂f (x, y) "/ ∂x.

Zahtevana znanja

Za uspešno učenje in biti sposoben rešiti diffury potrebno znanje v integracijo in diferenciacijo. Za lažje razumevanje diferencialnih enačb, je treba razumeti temo derivat in nedoločeni integral. Prav tako ne boli, da se naučijo, da si za odvod implicitne funkcije. To je posledica dejstva, da se bo v procesu učenja pogosto uporabljajo integralov in diferenciacijo.

Vrste diferencialnih enačb

Skoraj vse kontrolnem delu povezana s prvega reda diferencialnih enačb, obstajajo 3 vrste enačb: homogeni, z ločljivimi spremenljivkami, linearna homogeni.

Obstajajo tudi bolj redke vrste enačbe z vseh razlik, Bernoullijevo enačbo, in drugi.

Osnove rešitve

Za začetek, moramo zapomniti je algebraična enačba šolskega predmeta. Vsebujejo spremenljivke in številke. Da bi rešili konvencionalne enačbo je treba najti veliko številk, ki izpolnjujejo določenega stanja. Značilno je, da te enačbe imajo korenine, in za potrjevanje je treba nadomestiti le to vrednost v neznanem mestu.

Diferencialna enačba je podoben temu. Na splošno enačbo prvega reda obsega:

• Neodvisna spremenljivka.
• Derivat prvega funkcije.
• Funkcija ali odvisna spremenljivka.

V nekaterih primerih lahko pride nihče ni znano, x ali y, vendar to ni tako pomembna kot je potrebno, da ima prvi derivat, brez višji odvodi namenom raztopine in diferencialni računa bilo res.

Rešite diferencialne enačbe - to pomeni, da bi našli nabor vseh funkcij, ki so primerni glede na izraz. Takšni kompleti funkcij se pogosto imenuje splošni nadzor rešitev.

integralni račun

Integralni račun je eden od odsekov matematične analize, ki obravnava koncept integralne, lastnosti in metode za njen izračun.

Pogosto izračun integral pojavi pri izračunu površine na ukrivljeno obliko. Na ta način mejno območje, do katere se vnaprej določeno področje popisano poligona oblike s postopnim povečanjem v roki, in stranjo podatki lahko manjši od predhodno določeno arbitrarno majhnih vrednosti.

Glavna ideja pri izračunu območja koli geometrijske oblike se izračuna ploščino pravokotnika, potem obstajajo dokazi, da je njena površina je enaka zmnožku dolžine, ki ga širine. Ko gre za geometrije, nato pa so vsi objekti, ki s pomočjo ravnila in kompasa, nato pa je razmerje med dolžino in širino je racionalno vrednost. Pri izračunu območje pravokotnega trikotnika se lahko določi, da če si dal naslednji trikotnik, se tvori pravokotnik. Na območju paralelograma se izračuna podobno, vendar nekoliko bolj zapleten način, v pravokotniku in trikotnika. Na območju poligona je po mnenju trikotniki, vključenih v njem.

Pri določanju milost samovoljno, ta metoda ne ustreza krivulje. Če ga vdreti v posameznih kvadratov, bo ostal nezapolnjene mesta. V tem primeru poskusite uporabiti dve plasti, s pravokotniki zgoraj in spodaj, kot rezultat tistih, ki vključujejo graf funkcije in ne vključuje. Pomembno tukaj je način, da bi prekinil te pravokotnike. Tudi, če vzamemo odmor bolj zmanjša, območje na vrhu in na dnu stekajo na določeno vrednost.

To bi se morali vrniti na metodo za ločevanje v pravokotnike. Obstajata dva priljubljenih načinov.

Riemann je bila uradno definicijo integral, ki ga Leibniz in Newton ustvarili, kot na področju podgraf. V tem primeru smo upoštevali številko, sestavljeno iz določenega števila vertikalnih pravokotnikov, pridobljenih z deljenjem interval. Ko zlom zmanjšanje obstaja meja, na katero se zmanjša površina takega sliki, se ta omejitev imenuje Riemann integral funkcije na določenem intervalu.

Druga metoda je zgraditi Lebesgue integral, sestoji v tem, da na mestu ločitev določenega območja na delu integrand in urejanja nato integralno vsoto vrednosti, dobljenih v teh delih, pri intervalih razdelila obseg vrednosti, in nato združimo z ustreznimi ukrepi inverzni slik teh integralov.

sodobni pripomočki

Ena od glavnih prednosti za preučevanje diferencialni in integralni račun Fikhtengol'ts napisal - "na diferencialni in integralni račun." Njegov učbenik je temeljno orodje za študij matematične analize, ki se je uprl številne izdaje in prevode v druge jezike. Ustvarjeno za študente in za dolgo časa, ki se uporablja v različnih izobraževalnih ustanov, kot enega izmed glavnih prednosti študije. Daje teoretične informacije in praktične veščine. Prvič objavljena leta 1948.

raziskovalna funkcija algoritem

Raziskati načine funkcije Diferencialni račun, morate upoštevati, je že podana algoritem:

1. Poišči domeno funkcije.
2. Poišči korenine dane enačbe.
3. Izračunajte skrajnosti. Da bi to naredili, smo izračunali derivat in točko, kjer je enaka nič.
4. Nadomestimo dobljene vrednosti v enačbi.

Sorte diferencialnih enačb

Nadzor prvega reda (drugače, razlika račun ene spremenljivke) in njihovih vrstah:

• Z ločljivima spremenljivkama enačbo: f (y) dy = g (x) dx.
• Najenostavnejši enačba ali razlika funkcija račun ene spremenljivke, ki ima formulo: y '= f (x).
• Linearni prvega reda neenakomerna kontrola: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoullijeva diferencialna enačba: y '+ P (x) y = Q (x) Y.
• Enačbi skupne razlike začeli P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

V diferencialne enačbe drugega reda in njihovih vrstah:

• Homogene linearne drugega reda enačbe s konstantnimi ^{koeficienti: y n + py '+ qy} = 0 p, q pripada R.
• Nehomogene linearne drugega reda diferencialna enačba s konstantnimi koeficienti ^{vrednosti: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogeni linearna diferencialna ^{enačba: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, in nehomogene drugega reda ^{enačbo: Y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Diferencialne enačbe višjih redov in njihovih vrstah:

• Diferencialna enačba, ki omogoča zmanjšanje ^{naročilo: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Linearna enačba višjega reda ^{_{homogene: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f _0, y = 0, in ^{_{nehomogene: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Faze reševanja problema z diferencialno enačbo

Z sta pomoč v daljinskem upravljalniku rešiti, ne samo matematike ali fizične težave, temveč tudi različne težave, biologije, ekonomije, sociologije in drugih. Kljub različnih temah, je treba upoštevati posamezno logično zaporedje za reševanje teh težav:

1. Priprava nadzor. Ena izmed najtežjih etap, ki zahteva največjo natančnost, saj bo vsaka napaka privede do povsem napačnih rezultatov. Treba je upoštevati vse dejavnike, ki vplivajo na proces in določiti začetne pogoje. To mora temeljiti tudi na dejstvih in logičnih zaključkov.
2. Za reševanje enačb. Ta proces je lažje prvo točko, saj zahteva le dosledno izvajanje matematičnih izračunov.
3. Analiza in vrednotenje rezultatov. Izpeljana rešitev je treba oceniti za vgradnjo praktične in teoretične vrednosti rezultata.

Primer uporabe diferencialnih enačb v medicini

Z daljinskim upravljalnikom na področju medicine se nahaja v gradnji epidemiološke matematičnega modela. Ne smemo pozabiti, da so te enačbe tudi v biologije in kemije, ki so blizu medicini, saj igra pomembno vlogo študijo različnih bioloških populacij in kemijskih procesov v človeškem telesu.

V tem primeru lahko epidemija širjenje okužbe je treba zdraviti v izolirani skupnosti. Prebivalci so razdeljene v tri skupine:

• Okuženi je število x (t), ki ga sestavlja posameznikov, infekcijskih prevoznikom, od katerih je vsak infekcijskih (inkubacijska doba je kratka).
• Druga vrsta vključuje občutljivih posameznikih y (t), je lahko okužena s stikom z okuženo.
• Tretja vrsta vključuje ognjevzdržnih posameznike z (t), ki so imuni ali izgubljen zaradi bolezni.

Število posameznikov nenehno, vodenje poroda, se ne štejejo za naravne smrti in migracij. V središču bo dve hipotezi.

Odstotek bolezni na neki časovni točki je enaka x (t), y (t) (na osnovi predpostavke o teoriji, da je število primerov, v sorazmerju s številom križišč med bolnikom in odziven članov, ki je v prvem približku je sorazmerna x (t), y (t)), v zato je število primerov narašča, in število dovzetnih zmanjša s hitrostjo, ki je izračunana po enačbi ax (t) y (t) (a> 0).

Število neodzivne živali, ki so poginile ali pridobljene imunosti, povečal s hitrostjo, ki je sorazmerna s številom primerov, bx (t) (b> 0).

Kot rezultat, lahko nastavite sistem enačb z vseh treh kazalnikov na podlagi svojih sklepov.

Primer uporabe ekonomije

Diferencialni račun se pogosto uporablja v ekonomski analizi. Glavna naloga v ekonomski analizi se šteje, da je študija vrednosti v gospodarstvu, ki so zapisane v obliki funkcije. Uporablja se pri reševanju problemov, kot so spremembe v davčni dohodek poveča takoj po, vstopnine, spremembe v prihodkih, ko spreminjajo vrednost izdelka, v kaj se je delež mogoče nadomestiti z upokojenci z novo opremo. Za rešitev teh problemov, je potrebno zgraditi Komunikacijska funkcija vhodnih spremenljivk, ki se po preučevanih z diferencialno računa.

je pogosto treba najti najbolj optimalno delovanje na gospodarskem področju: maksimalno produktivnost, najvišje dohodke, najnižje stroške in tako naprej. Vsak tak sestavni del je odvisen od enega ali več argumentov. Na primer, lahko proizvodnja šteti kot funkcija dela in kapitala. V zvezi s tem lahko, iskanju primernega vrednost se zmanjša na iskanju največ ali najmanj v odvisnosti od ene ali več spremenljivk.

Take težave ustvariti razred ekstremalni problemi na gospodarskem področju, za katero potrebujete Diferencialni račun. Ko se za zmanjšanje ali povečanje v odvisnosti od drugih parametrov mora gospodarski kazalec, bo funkcija razmerje prirastek najvišja točka na trditve ponavadi nič, če je prirastek argumenta nagiba k nič. V nasprotnem primeru, ko je tak odnos kaže na določeno pozitivno ali negativno vrednost, določena točka ni primerna, saj se s povečanjem ali zmanjšanjem argument lahko spremeni odvisna vrednost v želeno smer. V Diferencialni račun terminologiji, bi to pomenilo, da je zahtevani pogoji za najvišjo funkcijo ničelne vrednosti njegovega derivata.

Gospodarstvo nenavadnega ni problem najti ekstremu funkcije več spremenljivk, saj se gospodarski kazalci sestavljena iz več dejavnikov. Takšna vprašanja se dobro razume v teorije funkcij več spremenljivk, metode izračuna razliko. Takšne težave so ne le čim večje in čim bolj zmanjšati funkcijo, ampak tudi omejitve. Ta vprašanja se nanašajo na matematičnega programiranja, in jih rešili s pomočjo posebej v razvitih metod, ki temeljijo tudi na tej veji znanosti.

Med metodami diferencialnega računa, ki se uporabljajo v gospodarstvu, je pomemben del je zadnji preizkus. Na gospodarskem področju se izraz nanaša na skupek metod raziskovanja spremenljivke uspešnosti in rezultate, ko spremenite glasnost ustvarjanja, ljudi, ki temelji na analizi njihovih mejnih vrednosti. Omejevanje indikacija šteje derivat ali delne derivate z več spremenljivkami.

Diferencialni račun več spremenljivk - pomembna tema matematične analize. Za podrobne študije, ki jih lahko uporabljajo različne učne pripomočke za visokošolske zavode. Eden izmed najbolj znanih ustvarjenih Fikhtengol'ts - "na diferencialni in integralni račun." Koliko imena za reševanje diferencialnih enačb zelo pomembno, da imajo sposobnosti za delo z integrali. Ko je razlika račun funkcij ene spremenljivke, odločba postane lažje. Čeprav je treba poudariti, da sledi enake osnovne predpise. V praksi, da razišče funkcijo diferencialnega računa, sledite že obstoječi algoritem, ki je dano v srednji šoli, in le malo zapleteno z uvedbo novih spremenljivk.