Linearne in homogene diferencialne enačbe prvega reda. Sample rešitve

Mislim, da bi morali z zgodovino takšnega veličastnega matematičnega orodja začeti kot diferencialne enačbe. Kot vse diferencialne in integralne račune so te enačbe izmislili Newton konec 17. stoletja. To odkritje je menil, da je tako pomembno, da je šifriral sporočilo, ki ga je mogoče danes prevajati: »Vsi zakoni narave so opisani z diferencialnimi enačbami«. Morda se zdi pretiravanje, vendar je res. Vsak zakon fizike, kemije, biologije lahko opišemo s temi enačbami.

Velik prispevek k razvoju in ustvarjanju teorije diferencialnih enačb so naredili matematiki Euler in Lagrange. Že v 18. stoletju so odkrili in razvili, kaj se zdaj preučuje na višjih univerzitetnih tečajih.

Henry Poincare je začel nov mejnik pri preučevanju diferencialnih enačb. Ustvaril je "kvalitativno teorijo diferencialnih enačb", ki v kombinaciji s teorijo funkcij kompleksne spremenljivke pomembno prispeva k postavitvi topologije - znanosti o prostoru in njegovih lastnostih.

Kaj so diferencialne enačbe?

Mnogi ljudje se bojijo ene besede "diferencialna enačba". V tem članku pa bomo podrobno opisali celotno bistvo tega zelo uporabnega matematičnega aparata, ki v resnici ni tako zapleten, kot se zdi iz naslova. Da bi začeli govoriti o diferencialnih enačbah prvega reda, se morate najprej seznaniti z osnovnimi koncepti, ki so neločljivo povezani s to definicijo. In začeli bomo z razliko.

Diferencial

Mnogi ljudje tega pojma poznajo iz šole. Vendar bomo podrobneje obdržali to. Predstavljajte si funkcijski graf. Lahko ga povečamo do take mere, da bo kateri od njegovih segmentov v obliki ravne črte. Na njem vzamemo dve točki, ki sta med seboj neskončno blizu. Razlika v koordinatah (x ali y) je neskončno manjša. To se imenuje diferencial in označuje znaka dy (razlika v y) in dx (razlika v x). Zelo pomembno je razumeti, da razlika ni končna količina, in to je njen pomen in osnovna funkcija.

In zdaj moramo upoštevati naslednji element, ki ga potrebujemo pri razlagi koncepta diferencialne enačbe. To je derivat.

Derivat

Vsi smo verjetno slišali v šoli in ta koncept. Rečeno je, da je derivat stopnja rasti ali zmanjšanja funkcije. Vendar pa je večina te opredelitve nerazumljiva. Poskusimo razložiti derivat skozi razlike. Vrnemo se na neskončno manjši del funkcije z dvema točkama, ki so na najmanjši razdalji drug od drugega. Toda tudi za to razdaljo ima funkcija čas, da se do neke mere spremeni. In opisati to spremembo in izdelati derivat, ki se lahko sicer navede kot razmerje med diferenciali: f (x) '= df / dx.

Zdaj moramo upoštevati osnovne lastnosti derivata. Le tri so:

1. Derivat vsote ali razlike lahko predstavimo kot vsoto ali razliko derivatov: (a + b) '= a' + b 'in (ab)' = a'-b '.
2. Druga lastnost je povezana z množenjem. Derivat produkta je vsota produktov ene funkcije na derivatu drugega: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Derivat razlike lahko zapišemo v obliki naslednje enačbe: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ² .

Vse te lastnosti so uporabne pri iskanju rešitev diferencialnih enačb prvega reda.

Obstajajo tudi delni derivati. Recimo, da imamo funkcijo z, ki je odvisna od spremenljivk x in y. Za izračun delnega izpeljanka te funkcije recimo, glede na x, moramo sprejeti spremenljivko y kot konstanto in preprosto razlikovati.

Integral

Drug pomemben koncept je integral. Dejansko je to neposredna nasprotna izvedenka. Integrali so več vrst, toda za reševanje najpreprostejših diferencialnih enačb potrebujemo najbolj trivialne nedoločene integrale.

Torej, kaj je integral? Recimo, da imamo določeno odvisnost od f na x. Iz nje vzamemo integral in dobimo funkcijo F (x) (pogosto imenujemo antiderivativno), katerega derivat je enak prvotni funkciji. Tako je F (x) '= f (x). Iz tega izhaja tudi, da je integral derivata enak prvotni funkciji.

Pri reševanju diferencialnih enačb je zelo pomembno razumeti pomen in funkcijo integrala, saj je zelo pogosto potrebno, da jih poiščemo in poiščemo rešitev.

Enačbe so različne glede na njihovo naravo. V naslednjem poglavju bomo preučili vrste diferencialnih enačb prvega reda in se nato naučili, kako jih rešiti.

Razredi diferencialnih enačb

"Difuzorji" so razdeljeni glede na vrstni red izvedenih instrumentov, ki sodelujejo v njih. Tako je naročilo prvo, drugo, tretje ali več. Lahko jih razdelimo tudi v več razredov: navadne in delne derivate.

V tem članku obravnavamo navadne diferencialne enačbe prvega reda. Primeri in metode za njihovo reševanje bodo obravnavane tudi v naslednjih poglavjih. Upoštevali bomo samo ODE, ker so to najpogostejše vrste enačb. Običajno so razdeljeni na podvrste: z ločilnimi spremenljivkami, homogenih in heterogenih. Nato boste izvedeli, kako se razlikujejo med seboj in se naučite, kako jih rešiti.

Poleg tega se te enačbe lahko kombinirajo tako, da po tem, ko imamo sistem diferencialnih enačb prvega reda. Te sisteme bomo upoštevali in se naučili, kako jih rešiti.

Zakaj razmišljamo le o prvem naročilu? Ker morate začeti s preprostim, preprosto ni mogoče opisati vsega, kar je povezano z diferencialnimi enačbami v enem članku.

Enačbe z ločljivimi spremenljivkami

To so morda najpreprosteje diferencialne enačbe prvega reda. Ti vključujejo primere, ki se lahko zapišejo kot: y '= f (x) * f (y). Za rešitev te enačbe potrebujemo formulo za predstavitev derivata kot razmerje med diferenciali: y '= dy / dx. S pomočjo tega dobimo naslednjo enačbo: dy / dx = f (x) * f (y). Zdaj se lahko obrnemo na metodo reševanja standardnih primerov: delimo spremenljivke po delih, to pomeni, da vse prenesemo iz spremenljivke y v del, kjer se nahaja dy, to pa tudi storimo s spremenljivko x. Dobimo enačbo oblike dy / f (y) = f (x) dx, ki se reši z upoštevanjem integralov z obeh strani. Ne pozabite na konstanto, ki jo je treba določiti po prevzemu integrala.

Rešitev katerega koli "difuzorja" je funkcija odvisnosti x na y (v našem primeru) ali, če obstaja numerično stanje, potem je odgovor v obliki števila. Analiziramo na konkretnem primeru celoten potek rešitve:

Y '= 2y * sin (x)

Spremenimo spremenljivke v različnih smereh:

Dy / y = 2 * sin (x) dx

Zdaj vzamemo integral. Vse jih je mogoče najti v posebni tabeli integralov. In dobimo:

Ln (y) = -2 * cos (x) + C

Če je potrebno, lahko izrazimo "igruk" kot funkcijo "X". Zdaj lahko rečemo, da je naša diferencialna enačba rešena, če pogoj ni določen. Pogoj lahko navedemo npr. Y (n / 2) = e. Nato v rešitvi nadomestimo vrednost teh spremenljivk in poiščemo vrednost konstante. V našem primeru je 1.

Homogene diferencialne enačbe prvega reda

Zdaj pojdite na bolj zapleten del. Homogene diferencialne enačbe prvega reda lahko zapišemo v splošni obliki, kot sledi: y '= z (x, y). Treba je opozoriti, da je desna funkcija dveh spremenljivk homogena in je ni mogoče razdeliti na dve odvisnosti: z iz x in z iz y. Da preverimo, ali je enačba homogena ali ne, je precej preprosta: naredimo zamenjavo x = k * x in y = k * y. Sedaj smo rezali vse k. Če se vse te črke zmanjšajo, je enačba homogena in lahko varno nadaljujete njegovo rešitev. Pred nami, recimo: načelo reševanja teh primerov je tudi zelo preprosto.

Potrebno je zamenjati: y = t (x) * x, kjer je t funkcija, ki je odvisna tudi od x. Potem lahko izrazimo derivat: y '= t' (x) * x + t. Če smo vse to zamenjali v našo izvirno enačbo in jo poenostavili, dobimo primer z ločevalnimi spremenljivkami t in x. Rešimo jo in dobimo odvisnost t (x). Ko jo dobimo, preprosto zamenjajte y = t (x) * x v prejšnji zamenjavi. Potem dobimo odvisnost od y na x.

Da bi bilo bolj jasno, vzemimo si primer: x * y '= yx * e ^{y / x} .

Pri preverjanju z zamenjavo se vse zmanjša. Zato je enačba res homogena. Zdaj naredimo še eno substitucijo, o kateri smo govorili: y = t (x) * x in y '= t' (x) * x + t (x). Po poenostavitvi dobimo naslednjo enačbo: t '(x) * x = -e ^t . Pripravljeni primer rešimo z ločenimi spremenljivkami in dobimo: e ^-t = ln (C * x). Ostanek nam je, da nadomestimo t z y / x (ker če je y = t * x, potem t = y / x), in dobimo odgovor: e- ^{y / x} = ln (x * C).

Linearne diferencialne enačbe prvega reda

Čas je, da razmislimo o še eni široki temi. Analizirali bomo nehomogene diferencialne enačbe prve reda. Kako se razlikujejo od prejšnjih dveh? Ugotovimo to. Linearne diferencialne enačbe prvega reda lahko zapišemo v splošni obliki z naslednjo enačbo: y '+ g (x) * y = z (x). Treba je pojasniti, da sta lahko z (x) in g (x) konstantne količine.

In zdaj primer: y '- y * x = x ² .

Obstajata dva načina za reševanje in oba bomo uredili. Prvi je metoda variacije poljubnih konstant.

Za rešitev enačbe na ta način je najprej treba izenačiti desno stran na nič in rešiti nastalo enačbo, ki po prenosu delov ima obliko:

Y '= y * x;

Dy / dx = y * x;

Dy / y = xdx;

Ln | y | = x 2/2 + C;

Y = e ^{x2 / 2} * pri ^C = C ₁ * e ^{x2 / 2} .

Zdaj moramo zamenjati konstanto C ₁ s funkcijo v (x), ki jo moramo najti.

Y = v * e ^{x2 / 2} .

Izmenjamo derivat:

Y '= v' * e ^{x2 / 2-} x * v * e ^{x2 / 2} .

In nadomestite te izraze v izvirni enačbi:

V * * e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ² .

Vidimo lahko, da sta na levi strani dva pogoja preklicana. Če se v nekem primeru to ni zgodilo, ste naredili kaj narobe. Nadaljujmo:

V '* e ^{x2 / 2} = x2.

Zdaj rešujemo običajno enačbo, v kateri moramo ločiti spremenljivke:

Dv / dx = x ² / e ^{x2 / 2} ;

Dv = x2 * e ^{- x2 / 2} dx.

Za pridobitev integrala moramo integracijo uporabiti po delih. Vendar to ni tema našega članka. Če vas zanima, se lahko naučite sami narediti. To ni težko, z zadostnim znanjem in pozornostjo ne traja veliko časa.

Preklopimo na drugo metodo za reševanje nehomogenih enačb: Bernoulliova metoda. Kateri pristop je hitrejši in lažji - odvisno od vas.

Torej, pri reševanju enačbe s to metodo, moramo narediti zamenjavo: y = k * n. Tu sta k in n določene funkcije, odvisne od x. Potem bo derivat izgledal takole: y '= k' * n + k * n '. V obe enačbi zamenjamo obe substituciji:

K '* n + k * n' + x * k * n = x ² .

Skupina:

K '* n + k * (n' + x * n) = x ² .

Sedaj moramo enačiti z nič, kar je v oklepajih. Če združimo obe dobljeni enačbi, dobimo sistem diferencialnih enačb prvega reda, ki ga je treba rešiti:

N '+ x * n = 0;

K '* n = x ² .

Prva enačba je rešena kot navadna enačba. Če želite to narediti, morate ločiti spremenljivke:

Dn / dx = x * v;

Dn / n = xdx.

Vzamemo integral in dobimo: ln (n) = x 2/2. Potem, če izrazimo n:

N = e ^{x2 / 2} .

Sedaj smo enakopravnost nadomestili v drugo enačbo sistema:

K '* e ^{x2 / 2} = x2.

In preoblikovanje, dobimo enako enakost kot v prvi metodi:

Dk = x ² / e ^{x2 / 2} .

Prav tako ne bomo razstavljali nadaljnjih ukrepov. Treba je povedati, da najprej rešitev diferencialnih enačb prvega reda povzroča velike težave. Vendar pa se s poglobljenim potopom v subjekt začne izboljševati in izboljševati.

Kje se uporabljajo diferencialne enačbe?

Zelo aktivne diferencialne enačbe se uporabljajo v fiziki, saj so skoraj vsi osnovni zakoni napisani v diferencialni obliki in tiste formule, ki jih vidimo, so rešitve teh enačb. V kemiji se uporabljajo iz istega razloga: osnovni zakoni so pridobljeni z njihovo pomočjo. V biologiji se uporabljajo diferencialne enačbe za modeliranje obnašanja sistemov, na primer predatorski plen. Lahko jih uporabimo tudi za ustvarjanje modelov razmnoževanja, recimo, kolonije mikroorganizmov.

Kako bodo diferencialne enačbe v življenju pomagale?

Odgovor na to vprašanje je preprost: noben način. Če niste znanstvenik ali inženir, vam verjetno ne bodo koristni. Za splošen razvoj pa ni nerazumno vedeti, kakšna je diferencialna enačba in kako je rešena. In potem vprašanje o sinu ali hči "kakšna je diferencialna enačba?" Ne postavljajte se v zlato. No, če ste znanstvenik ali inženir, sami razumete pomen te teme v kateri koli znanosti. Toda glavna stvar je, da zdaj vprašanje "kako rešiti diferencialno enačbo prvega reda?" Vedno lahko odgovorite. Strinjam se, vedno je prijetno, ko razumete, kaj se ljudje bojijo razumeti.

Glavne težave v študiji

Glavna težava pri razumevanju te teme je slaba usposobljenost za vključevanje in diferenciranje funkcij. Če napačnih derivatov in integralov ne upoštevate slabo, potem je verjetno vredno učiti, obvladati različne metode integracije in diferenciacije ter šele nato začeti študirati gradivo, ki je bilo opisano v članku.

Nekateri ljudje so presenečeni, ko se naučijo, da se lahko prenese dx, ker je prej (v šoli) trdilo, da je frakcija dy / dx nedeljiva. Tukaj morate prebrati literaturo o derivatu in razumeti, da je razmerje med infinitezimalnimi količinami, ki jih je mogoče manipulirati pri reševanju enačb.

Mnogi ljudje ne vedo takoj, da je reševanje diferencialnih enačb prvega reda pogosto funkcija ali neintegralni integral, in ta zabloda jim daje veliko težav.

Kaj še lahko študirate za boljše razumevanje?

Najbolje je, da se v svet diferencialnega računanja prične nadaljnje potapljanje iz specializiranih učbenikov, na primer v matematični analizi za študente nemetematskih specialitet. Potem lahko greste v bolj specializirano literaturo.

Omeniti velja, da poleg diferencialnih enačb obstajajo tudi integralne enačbe, tako da boste vedno imeli nekaj, s čimer si boste lahko prizadevali in kaj želite učiti.

Zaključek

Upamo, da boste po branju tega članka imeli idejo o tem, kakšne diferencialne enačbe so in kako jih pravilno rešiti.

V vsakem primeru je matematika na kakršenkoli način koristna za nas v življenju. Razvija logiko in pozornost, brez katere je vsakdo brez rok.