Sistem linearnih enačb. Homogeni sistem linearnih enačb

V šoli, vsak od nas je študiral enačbe in, seveda, sistem enačb. Ampak ni veliko ljudi ve, da obstaja več načinov za njihovo reševanje. Danes bomo videli natanko vse metode za reševanje sistema linearnih enačb, ki so sestavljene iz več kot dveh enačb.

zgodba

Danes vemo, da je umetnost reševanje enačb in sistemov izvira iz starodavnega Babilona in Egipta. Vendar pa je enakost v svoji znani obliki, se zdi, da nas po nastanku enačaja "=", ki je bil uveden leta 1556, ki ga angleški matematik zapis. Mimogrede, je ta simbol izbrali z razlogom: to pomeni dve vzporedni enakih segmentov. Dejansko je najboljši primer enakosti ne pride gor.

Ustanovitelj sodobne črkami in simboli neznanega meri francoski matematik Fransua Viet. Vendar pa je njegova oznaka je precej drugačen od današnjega. Na primer, kvadrat neznano število je s črko Q (. Lat "quadratus") in kocke imenuje - (. Lat "CUBUS") črka C. Ti simboli zdaj zdi neprijetno, potem pa je bila najbolj intuitiven način za pisanje sistema linearnih enačb.

Vendar pa je slabost v prevladujočih metod rešitev, ki so matematiki štejejo le pozitivne korenine. Morda je to posledica dejstva, da negativne vrednosti nimajo nobene praktične uporabe. Tako ali drugače, vendar je najprej treba upoštevati negativne korenine začel po italijanskih matematike Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano in Raphael Bombelli v 16. stoletju. Sodoben videz, glavna metoda reševanja kvadratne enačbe (z diskriminantno) je bila ustanovljena šele v 17. stoletju, po delih Descartesa in Newtona.

V sredini švicarski matematik 18. stoletja Gabriel Cramer našli nov način, da bi se rešitev sistema linearnih enačb lažje. Ta metoda je bila kasneje poimenovana po njem, in na ta dan, ko smo jo uporabili. Toda o načinu govorjenja Kramer je malo kasneje, ampak za zdaj bomo razpravljali linearnih enačb in njihove rešitve, ločeno od sistema.

linearne enačbe

Linearne enačbe - najenostavnejši enačbo s spremenljivko (-i). Pripadajo algebraična. Linearne enačbe zapišemo v splošni obliki kot sledi: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... in _n * x _n = b. Predložitev tega obrazca bomo potrebovali pri pripravi sistemov in matrike naprej.

Sistem linearnih enačb

Opredelitev tega izraza je: niz enačb, ki imajo skupne neznanke in splošno rešitev. Značilno je, da v šoli vse rešiti sistem z dvema ali celo tremi enačb. Vendar pa obstajajo tudi sistemi s štirimi ali več sestavnih delov. Poglejmo najprej, kako jih zapisati, da kasneje je bil primeren za reševanje. Prvič, da bo sistem linearnih enačb videti bolje, če so vse spremenljivke zapišemo kot x z ustreznim indeksom: 1,2,3 in tako naprej. Drugič, treba je voditi vse enačbe v kanonični obliki: a ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... in _n * x _n = b.

Po vseh teh korakov, lahko začnemo, da vam povem, kako najti rešitev sistema linearnih enačb. Zelo za, da bodo prišli v priročni matrici.

matrika

Matrix - tabela, ki je sestavljena iz vrstic in stolpcev, in njeni elementi pa so na križišču. To je lahko bodisi določeno vrednost ali spremenljivko. V večini primerov, da določi elemente, ki so razporejene pod indekse (naprimer ₁₁ ali ₂₃ vdolbinico). Prvi indeks kaže številko vrstice, in drugi - stolpec. Nad matrike kot zgoraj, in kateri koli drugi matematični element lahko opravljajo različne dejavnosti. Tako boste lahko:

1) Odštejemo in dodamo enake velikosti tabele.

2) Pomnožite matrico na poljubnem številu ali vektor.

3) Prenesti: preoblikovanje matriksa vrstice v stolpce in stolpce - v liniji.

4) Pomnožite matrico, če je število vrstic enako enem od njih drugačno število stolpcev.

Za podrobno razpravljali o vseh teh tehnik, ki so koristni za nas v prihodnosti. Odštevanje in dodajanje matrik je zelo preprosta. Ker smo vzeli enake velikosti matrike, vsak element ene tabele je povezan z vsakim drugim elementom. Tako smo dodali (odštevanje), dva od teh elementov (pomembno je, da so stali na istem terenu v svoje matrike). Ko pomnoženo s številom matrike ali vektorja preprosto pomnožimo vsak element matrike z navedeno številko (ali vektor). Prenos - zelo zanimiv proces. Zelo zanimivo, včasih, da ga vidim v resničnem življenju, na primer, ko se spreminja usmeritev tablete ali telefona. Ikone na namizju je matrika, in s spremembo položaja, je prenesena in postane širša, vendar zmanjša v višino.

Oglejmo si bolj proces kot množenje matrik. Čeprav nam je povedal, in je ni uporaben, vendar se zaveda, da je še vedno uporaben. Pomnožite dve matrike lahko le pod pogojem, da je število stolpcev v eni tabeli enako številu drugih vrstic. Sedaj lahko ena matrica vrstične elemente in druge elemente ustreznem stolpcu. jih pomnožimo med seboj in nato vsote (t.j., na primer, produkt elementov ₁₁ in ₁₂ in pri ₁₂ b in ₂₂ b, enako: a * b _{11 12} + ₁₂ * b in _22). Tako je ena tabela element, in postopek podoben njegovega nadaljnjega napolnjena.

Zdaj bomo lahko začeli razmišljati, kako rešiti sistemov linearnih enačb.

Gauss

Ta tema se je začela potekati na šoli. Zelo dobro vemo, da pojem "sistem dveh linearnih enačb" in vedo, kako jih rešiti. Toda kaj, če je število enačb večja od dveh? To nam bo pomagalo Gaussova metoda.

Seveda, ta metoda je primeren za uporabo, če bi matriko sistema. Vendar ga ne more spremeniti in se odloči sama.

Torej, kako to rešiti s sistemom linearnih enačb Gauss? Mimogrede, čeprav je ta metoda in poimenovana po njem, vendar ga odkrili v starih časih. Gauss je operacijo izvedemo z enačbami, da sčasoma povzroči celoto z obliko postroja. To pomeni, da je treba od zgoraj navzdol (če je pravilno mesto), od prve do zadnje enačbe upadla eno neznano. Z drugimi besedami, moramo zagotoviti, da imamo, recimo, tri enačbe: prvi - tri neznanke, v drugem - dva v tretji - eno. Nato iz zadnje enačbe, smo našli prvo neznano, nadomestiti njegovo vrednost v drugi ali prvi enačbi, in nadalje našli preostalih dveh spremenljivk.

cramerjevo pravilo

Za razvoj te tehnike je ključnega pomena, da bi obvladali veščine Poleg tega, odštevanje matrike, kot tudi potrebo, da bi lahko našli dejavnikov. Torej, če ste neudobno tem vse ali pa ne vedo, kako je treba, da se naučijo in se usposabljajo.

Kaj je bistvo te metode, in kako to storiti, da bi dobili sistem linearnih enačb Cramer? To je zelo preprosta. Moramo graditi matriko števil (skoraj vedno) koeficientov sistema linearnih enačb. Če želite to narediti, preprosto vzemite število neznano, in uredimo tabelo v vrstnem redu, ki so zabeležene v sistemu. Če pred številka je znak "-", potem pišemo negativni koeficient. Torej, smo naredili prvo matriko koeficientov neznank, ne vključno s številko po enačaj (seveda, da je treba zmanjšati na kanonični obliki enačba, ko je pravica samo številka, in levo - vse neznanke s koeficienti). Potem boste morali narediti nekaj matrik - enega za vsako spremenljivko. V ta namen je v prvi matriki se nadomesti z eno kolono vsak stolpec številke s koeficienti po enačaj. Tako smo dobili nekaj matric in nato našli svoje determinante.

Ko smo našli kvalifikacije, je majhna. Imamo začetno matriks, in obstaja več izpeljani matrike, ki ustrezajo različnim spremenljivk. Da bi dobili sistemsko rešitev, delimo determinanto dobljene tabele na primarni dejavnik tabele. Dobljeno število je vrednost ene spremenljivke. Prav tako smo ugotovili, vse neznanke.

druge metode

Obstaja več načinov, da bi dobili raztopino sistema linearnih enačb. Na primer, tako imenovano metodo Gauss-Jordanija, ki se uporablja za iskanje rešitev sistema kvadratne enačbe, in prav tako nanaša na uporabo matrik. Na voljo je tudi način Jacobi za reševanje sistema linearnih enačb. On lahko prilagodi na vse računalnike in se uporablja pri izračunu.

zapletene primere

Kompleksnost se običajno zgodi, če je število enačb manjše od števila spremenljivk. Potem bomo lahko zagotovo rečemo, da, ali je sistem v neskladju (npr, nima korenin), ali število svojih odločitvah običajno do neskončnosti. Če imamo drugega primera - je potrebno napisati splošno rešitev sistema linearnih enačb. To bo vključevalo vsaj eno spremenljivko.

zaključek

Tukaj pridemo do konca. Če povzamemo: moramo razumeti, kaj je sistem matrika, naučili najti splošno rešitev sistema linearnih enačb. Poleg tega smo upoštevali druge možnosti. Smo ugotovili, kako rešiti sistem linearnih enačb: Gaussova eliminacija in cramerjevo pravilo. Pogovarjali smo se o težkih primerov in drugih načinov za iskanje rešitev.

V bistvu je to vprašanje je veliko bolj obsežna, in če želite, da bi bolje razumeli, vam svetujemo, da preberete več strokovne literature.