Geometrijska napredovanje. Primer sklepa

Razmislite vrstico.

7 28 112 448 1792 ...

Jasno kaže, da je vrednost vsakega izmed njegovih elementov več kot v prejšnjih natanko štirikrat. Torej, ta serija je napredovanje.

geometrijsko zaporedje imenovane neskončno zaporedje številk, glavna značilnost, ki je, da je naslednje število dobimo iz navedenega z množenjem nek določen številko. To je izražena z naslednjo formulo.

_{A Ž 1 = A Ž · q} , kjer je Z - številka izbranega elementa.

Skladno z ∈ N.

Čas, ko je šola študiral geometrično napredovanje - 9. razred. Primeri bodo pomagali razumeti koncept:

0,25 0,125 0,0625 ...

18. februar 6 ...

Na podlagi te formule lahko napredovanje imenovalec je na voljo na naslednji način:

Niti q, ali b, _Z ne more biti nič. Prav tako je vsak od elementov niza številk napredovanje ne bi smelo biti nič.

Zato je videti naslednjo številko števila, pomnožimo slednje s q.

Če želite določiti to napredovanje, morate določiti prvo komponento in imenovalec. Po tem je mogoče, da bi našli katerega koli od naslednjih članov in njihovo količino.

vrste

Odvisno od q in _1, je to napredovanje razdeljen na več vrst:

• Če je _{1 in} q je večji od ena, potem sekvenco - povečuje z vsakim naslednjim elementom geometrijske napredovanje. Primeri zanje so podrobno opisane spodaj.

Primer: ₁ = 3, je q = 2 - večje od enotnosti, oba parametra.

Potem se zaporedje števil lahko zapišemo kot:

3 6 12 24 48 ...

• Če | q | manj kot eno, in sicer, da je enakovredna množenje z delitvijo, napredovanje s podobnimi pogoji - zmanjšuje geometrijske napredovanje. Primeri zanje so podrobno opisane spodaj.

Primer: ₁ = 6, je q = 1/3 - _A1 je večje od ena, q - manj.

Potem zaporedje števil lahko zapišemo takole:

2. junij 2/3 ... - vsak element več elementov je naslednji, je 3-krat.

• Izmenično. Če q <0, znaki številu v sekvencah konstantno ne glede na število _1, in elementi morebitnega povečanja ali zmanjšanja.

Primer: ₁ = -3, q = -2 - sta manjša od nič.

Potem se zaporedje števil lahko zapišemo kot:

3, 6, -12, 24, ...

Formula

Za priročno uporabo, obstaja veliko geometrijsko zaporedje s formulami:

• Formulo Z-ti čas. To omogoča izračun elementa v določenem številu, ne da bi izračun prejšnje številke.

Primer: q = 3, A = ₁ 4. treba izračunati četrti napredovanje elementa.

Rešitev: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Vsota prvih elementov, katerih število je enako z. To omogoča izračun vsote vseh elementov v zaporedju do _z vključno.

≠ 0, tako, q ni 1 - (Q1) Od (1- q) v imenovalec, potem.

Opomba: če je q = 1, potem je napredovanje bi predstavljal številne nenehno ponavlja številko.

Znesek eksponentno Primeri: a ₁ = 2, q = -2. Izračunamo S _5.

Rešitev: S ₅ = 22 - Formula za izračun.

• Znesek, če | q | <1 in kadar je Z limitira proti neskončnosti.

Primer: ₁ = _2, q = 0,5. Poišči vsoto.

Rešitev: S _Z = 2 x = 4

Če izračunamo vsoto več članov priročnika, boste videli, da se je dejansko zavezala, da bo štiri.

S _Z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Nekatere lastnosti:

• Značilna lastnost. Če naslednji pogoj To velja za vse z, nato pa glede na številčno serijo - geometrično napredovanje:

A _Ž ² = A _{Ž -1} · A _{Ž + 1}

• Prav tako je kvadrat poljubnega števila je eksponentno z dodatkom kvadratov drugih dveh številk v danem vrsti, če so enako oddaljena od elementa.

^2a _Z = A _{Ž - ^T2 +} A _Ž + _t ^2, kjer je t - razdalja med temi številkami.

• Elementi razlikujejo za q-krat.
• Logaritmov elementov napredovanja ter tvorita napredovanje, ampak aritmetično, da je vsaka od njih več od prejšnjega določeno število.

Primeri nekaterih klasičnih težav

Da bi bolje razumeli, kaj lahko geometrično napredovanje, s primeri odločanja za 9. razredu pomaga.

• Pravila in pogoji: a ₁ = 3, ₃ = 48. Najdi q.

Rešitev: vsak zaporedni element več kot prejšnji q čas. To je potrebno izraziti nekatere elemente prek drugega prek imenovalec.

Zato, ₃ = ^Q2 · s ₁

Pri zamenjavi q = 4

• Pogoji: ₂ = 6, a = ₃ 12. Izračunaj S _6.

Rešitev: Da bi to naredili, zadošča, da bi našli q, prvi element in nadomestiti v formuli.

₃ = q · _2, zato je q = 2

₂ = q · A _1, tako a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Poišči četrti element napredovanja.

Rešitev: to je dovolj, da izrazijo četrti element skozi prvo in skozi imenovalec.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

Primer uporabe:

• Banka stranka je prispeval vsoto 10.000 rubljev, v skladu s katero bo vsako leto stranka za znesek glavnice se dodano 6% to, čeprav. Koliko denarja je na računu po 4 letih?

Rešitev: začetna količina enaka 10 tisoč rubljev. Torej, bo letos po naložbah v računu je znesek, ki je enak 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Zato je znesek na računu tudi po bo v enem letu, izražen kot sledi:

(10.000 · 1,06) · 10.000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10.000

To pomeni, da vsako leto se znesek poveča za 1,06-krat. Zato, da bi našli številko računa po 4 letih, je dovolj, da bi našli še četrto napredovanje element, ki se daje prvi del v višini 10 tisoč evrov, in imenovalec v višini 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10.000 = 12.625

Primeri težav izračunu vsote:

V različnih problemov z uporabo geometrijske napredovanje. Primer iskanja znesek se lahko določi na naslednji način:

A ₁ = 4, q = 2, izračunamo S _5.

Rešitev: vse potrebne podatke za izračun so znani, jih preprosto nadomestiti v formuli.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. izračunati vsoto prvih šestih elementov.

raztopina:

Geom. napredek vsakega elementa naslednji večji kot v prejšnjih časih q, to pomeni, da izračuna znesek, ki ga je potrebno vedeti element ₁ in imenovalca q.

₂ · q = ₃

q = 3

Podobno je treba najti _{A1, A2} in poznavanje q.

razmerju ₁ · q = _a2

A ₁ = 2

Nato zadošča nadomestiti znane podatke v formuli znesek.

S ₆ = 728.