Maclaurinovi in razpad nekaterih funkcij

Študij napredne matematike, se morajo zavedati, da je vsota potenčne v intervalu konvergence številnih nas stalno in neomejeno število krat diferenciran funkcijo. Postavlja se vprašanje: ali je mogoče trditi, da je določen poljubno funkcijo f (x) - je vsota potenčne vrste? To je, pod kakšnimi pogoji f-cije f (x) lahko predstavimo z vrsto energije? Pomen tega vprašanja je, da je mogoče nadomestiti približno £ Teološki f (x) je vsota prvih pogojev vrsto moči, da je polinom. Takšna zamenjava funkcija je precej preprost izraz - polinom - je priročen in pri reševanju nekaterih problemov v matematične analize, in sicer pri reševanju integralov pri izračunu diferencialnih enačb , itd ...

Dokazano je, da za nekatere f-II F (x), pri čemer se lahko izračuna derivati (n + 1) -tega naročilo, vključno najpozneje v bližini (alfa - R; x ₀ + R) iz točke x = a je pošteno formulo:

Ta formula je poimenovana po slavnem znanstveniku Brooke Taylor. Številne ki izhaja iz prejšnje, se imenuje Maclaurinova:

Pravilo, ki omogoča izdelavo širitev v Maclaurinova:

1. Ugotovite derivate prvi, drugi, tretji, ... Da.
2. Izračunamo kakšne so derivati pri x = 0.
3. Snemanje Maclaurinovi serija za to funkcijo, in nato določiti interval konvergence.
4. Določimo interval (-R, R), pri čemer preostala del s formulo Maclaurinovi

_Rn (x) -> 0 za n -> neskončnost. Če obstaja, mora funkcija f (x) enaka vsoti Maclaurinova.

Razmislite sedaj Maclaurinova za posamezne funkcije.

1. Tako je najprej f (x) = e ^x. Seveda, da njihove značilnosti tako f-la je pridobljen različne naročil in f ^{(k) (x)} = e ^x, kjer je k enak za vse naravne številkami. Nadomestni x = 0. Dobimo f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2, ... Glede na zgoraj navedeno število e ^x To bo, kot sledi:

2. Maclaurinovi serije za funkcije f (x) = sin x. Takoj navesti, da F-cije za vse neznane derivati bodo imeli poleg f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ^2), ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), kjer je k enak vsako pozitivno celo število. To je, tako preprostih izračunov, lahko sklepamo, da je (x) = bo sin x je vrsta za f takole:

3. Sedaj pa menijo IJU F-f (x) = cos x. Ni znano, za vse derivate arbitrarno naročilo in ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2, ... Spet, potem pa je nekaj izračunov, ugotovimo, da je serija za f (x) = cos x bo videti takole:

Torej, smo navedli najpomembnejše značilnosti, ki jih je mogoče razširiti v Maclaurinova, vendar pa dopolnjujejo serije Taylor nekaterih funkcij. Zdaj jih bomo seznam, kot tudi. Opozoriti je treba tudi, da je Taylorjeva vrsta in Maclaurinovi serija pomemben del serije delavnic odločb v višje matematike. Torej, Taylorjeva vrsta.

1. Prvi je serija F-ii f (x) = ln (1 + x). Kot v prejšnjih primerih, za tem smo f (x) = ln (1 + x) lahko prepognjen številko, z uporabo splošno obliko Maclaurinovi serije. vendar pa lahko za to funkcijo Maclaurinovi mogoče dobiti veliko lažje. Vključevanje geometrijsko vrsto, dobimo številko f (x) = ln (1 + x) vzorca:

2. In drugi, ki bo končno v tem članku, da ne bo vrsta za f (x) = arctg x. Za x spadajo v intervalu [-1; 1] velja razgradnja:

To je vse. V tem članku sem v raziskavi najbolj uporabljeno Taylor serije in Maclaurinovi niz v storitvi višje matematike, še posebej na gospodarskem in strokovnih šol.